Laboratorium 7

Automaty komórkowe - modelowanie epidemii

Proszę zaimplementować model epidemii jako automat komórkowy https://mathworld.wolfram.com/CellularAutomaton.html Przykładowe modele to np. SIR lub SIS https://en.wikipedia.org/wiki/Epidemic_models_on_lattices
Program powinien generować:

Proszę zbadać działanie modelu dla różnych parametrów. Program i wyniki proszę zaprezentować w postaci notatnika Jupyter i wgrać 2 pliki w formatach:

Dodatkowe linki:

SIR epidemic model

Model ten dzieli rozpatrywaną populację na trzy stany:

Liczba osób w danym stanie opisywana jest w funkcji czasu, odpowiednio I, S albo R. Jednocześnie w danym czasie t suma wartości tych trzech funkcji w tym punkcie czasu wynosi N (liczebność rozpatrywanej populacji). Model SIR bazuje na następujących równaniach różniczkowych, opisujących tempo przyrostu liczebności poszczególnych grup:

gdzie:

Współczynnik reprodukcji

Stanowi ważny parametr opisu dynamiki epidemii. Określa on średnią liczbę osób zakażonych przez jedną zainfekowaną osobę. $$R_{0}=\frac{\beta}{\gamma}$$

Osoby, które przebyły chorobę COVID-19, wykształcają odporność trwającą przez co najmniej 5-7 miesięcy. Stanowi to na tyle długi okres czasu, że tzw. "ozdrowieńców" zakwalifikować można do grupy R, co umożliwia zastosowanie modelu SIR w badaniu przebiegu epidemii SARS-COV-2.

Wykresy zmian liczby osób w poszczególnych stanach

Wykres dla $\beta$ = 0.15, $\gamma$ = 1/21

Wykres dla $\beta$ = 0.15, $\gamma$ = 1/14

Porównanie wykresów dla różnego czasu zdrowienia n = 1/$\gamma$

Zestawienie powyższych wykresów ilustruje zależność dynamiki przebiegu epidemii od czasu zdrowienia. Przyglądając się punktowi tzw. odporności zbiorowej, przyjmowanej jako R=70%, widać, że jest jest ona osiągana szybiej, gdy czas zdrowienia jest dłuższy (21 dni w porównaniu do 14 dni). Dzieje się tak ponieważ osobniki zakażone mają szansę zarażać dłużej, zanim wyzdrowieją, zatem fala zakażeń ma bardziej dynamiczny przebieg, większa liczba osób szybciej przechoruje, w konsekwencji czego odporność zbiorowa zostanie uzyskana szybciej.

Doświadczenia z użyciem automatów komórkowych - modelowanie epidemii

Parametry automatu komórkowego, symulującego przebieg epidemii:

Dla celów doświadczenia przyjmuję czas trwania choroby równy 21 dni:

$\frac{1}{\gamma} = 21$, $\gamma$=$\frac{1}{21}$

Case 1:
Populacja o współczynniku przemieszczania 5%, N = 100, 100 dni.
Jedno ognisko epidemiczne.

Case 2:
Populacja o współczynniku przemieszczania 5%, N = 900, 200 dni.
Jedno ognisko epidemiczne.

Obserwacje

Wykresy wygenerowane w wyniku obydwu doświadczeń z automatami komórkowymi podobne są do wykresów teoretycznych, uzyskanych w wyniku rozwiązania układu równań różniczkowych modelu SIR.

Case 3:
Populacja nieprzemieszczająca się, N = 900, okres 200 dni.
Jedno ognisko epidemiczne.

W tej próbie losowej populacja o mniejszym współczynniku przemieszczania cechowała się o wiele niższą liczbą zakażeń w tym samym okresie czasu, co w Case 2.

Case 4:
Populacja nieprzemieszczająca się, N = 90 000, 200 dni.
Jedno ognisko epidemiczne.

W tak licznej, nieprzemieszczającej się populacji o jednym ognisku epidemicznym nie jest możliwy uzyskanie odporności zbiorowej w tak krótkim czasie.

Case 5:
Populacja o współczynniku przemieszczania 4%, N = 90 000, 200 dni.
Trzy ogniska epidemiczne.

Przy "ruchliwości" społeczeństwa oraz, dodatkowo, trzech początkowych ogniskach epidemicznych, w ciągu 200 dni chorobę przeszła przeważająca część społeczeństwa.

Case 6:
Populacja o współczynniku przemieszczania 0,01%, N = 90 000, 200 dni.
Trzy ogniska epidemiczne.
Wysoka zakaźność: $R_{0}$ = 18 (m.in. odra)